数学が、
美しい模様に。
GCD と LCM が模様の形を決める、 ハイポトロコイド描画アプリ。 タップ 1 回で、 数学が閉じた曲線を最後まで描き切ります。
※ App Store 表示名は「スピログラフ」、 本サイトでは long-form「スピログラフメーカー」と表記しています。
玩具から、 世界の数学研究へ。
2022 年、 米ワシントン大学の代数組合せ論論文の謝辞欄に、 本アプリが研究ツールの 1 つとして明記されました。 論文は、 本アプリが描くのと同じ曲線族を数学的に扱い、 spirograph permutations という新しい専門用語を定義しています。 (※ "Spirograph" は 1965 年の歯車式ドローイング玩具の Hasbro 商標、 タイトル中の単語はこの玩具由来の一般概念を指します。)
1965 年の歯車定規を、 アプリにそのまま。
「スピログラフメーカー」 は、 1965 年の歯車定規 (Spirograph toy) を、 iPhone / iPad / Android のタップ操作に置き換えた幾何学アートアプリです。 描かれる曲線は ハイポトロコイド と エピトロコイド ── 高校数学でいうサイクロイドと同じ媒介変数表示の曲線です。 歯車を選んで、 タップ 1 回。 数学が閉じた軌道を最後まで描き切り、 そこに曼荼羅のような模様が現れます。 絵心は不要です。
9 年継続提供 · 4.7★ (23 件のレビュー) · 累計 11 万 DL · 100 か国以上 · iOS 18.6+ / Android 8+ · 完全無料 (任意の広告除去課金あり)。
閉じるのは比のため。 ローブの数は GCD が決める。
スピログラフの模様は偶然の産物ではありません。 中学校で習う最大公約数 (GCD) と最小公倍数 (LCM) が、 模様の閉じる回転数とローブ (花弁) の数を直接決めています。
x(t) = (R − r) cos t + d cos((R − r) / r · t)y(t) = (R − r) sin t − d sin((R − r) / r · t)
- ハイポトロコイド内ギアモード。 半径 R の固定円の内側を、 半径 r の円が転がり、 中心から距離 d の点が描く軌跡。
- エピトロコイド外ギアモード。 同じ構造で、 内側円が外側を転がる場合。
- 閉じる条件歯数比が既約分数 n/m のとき、 曲線は m / gcd(n, m) 回転で閉じる。
- ローブの数n / gcd(n, m) ── 完成した模様で数える花弁の数。
中学校 1 年の GCD/LCM と高校数学 III/C のサイクロイド・媒介変数表示が、 1 つの視覚で交わる稀有な題材です。
機能の詳細。
オート描画モード
タップ 1 回で線が動き、 閉じた軌道を最後まで描き切ります。
内ギア / 外ギア
ハイポトロコイド (内側) とエピトロコイド (外側) の 2 描画モード。
歯車サイズ自由
R / r / d を自由に設定。 比を変えるたびに別の模様が生まれます。
10 色以上 + 4 点グラデ
画面 4 隅で異なる色を指定して、 線が走るほど色が変化します。
背景色 + ペン幅
ライト・ダーク・カスタム背景。 細線・太線、 自由設定。
Undo / Redo
1 ステップ戻して別の比を試せる。 履歴を失いません。
写真ライブラリに保存
2048 × 2048 px で書き出し、 壁紙・印刷に。
SNS シェア
Instagram・X・Facebook 等、 iOS / Android の共有メニュー対応。
iPad 完全対応
ユニバーサルバイナリ。 大きなキャンバスで細部までじっくり描けます。
オフライン描画
描画と保存は通信なしで完結。 通信は広告と解析のみで、 作品データは端末外へ送信しません。
歯車から作品まで、 3 タップ。
歯車サイズを選ぶ
内ギア (ハイポトロコイド) か外ギア (エピトロコイド) のモードを選び、 ローブ数を決める R・r の値を設定します。
タップで自動描画
タップ 1 回。 線が動き、 m / gcd(n, m) 回転で元の位置に戻ったところで自動的に止まります。
保存またはシェア
写真ライブラリに保存、 SNS にシェア、 または Undo してギア比を変えて再描画します。
シーン。
- 寝る前のリラックスタイム。 2 分の描画セッションが、 眠る前の頭を静かにしてくれます。
- 数学の授業・宿題。 GCD/LCM・サイクロイド・媒介変数を「描いて」 体感できます。
- 自由研究・調べ学習。 比とローブ数の関係を試す、 まとまりのよい自由研究テーマに。
- 子どもの知育・創造遊び。 色は子どもが選び、 線はアプリが引いてくれます。
- 自分だけのオリジナル壁紙。 保存してロック画面・ホーム画面に。
- SNS のアートネタ。 どの出力もユニーク。 毎日違うアート投稿のネタに。
- 短い集中休憩 (Focus break)。 Pomodoro の合間の視覚的リセットに。
こんな方に。
日本の学習現場でもご利用いただいています。 新学期や夏休みの始まりに、 学習用途での導入が見られます。
仕様。
- 提供開始
- 2017 年 4 月 · 9 年継続
- 対応 OS
- iOS 18.6+ · Android 8+
- 実装
- Swift · Objective-C · Kotlin
- iOS 26
- Liquid Glass 対応
- 広告
- AdMob · UMP · ATT 完全準拠
- 価格
- 無料 · 任意の広告除去課金あり
- 学術引用
- arXiv:2207.06508
- 運営
- KYWorks
完全無料・サインアップ不要。
よくある質問。
なぜスピログラフの模様は閉じて花のような形になるのですか？
歯車のサイズ比 R/r が閉じた軌道を決めるためです。 既約分数で n/m と書けるとき、 曲線は m / gcd(n, m) 回転で閉じ、 n / gcd(n, m) 個のローブ (花弁) を持ちます。 中学校で習う GCD・LCM が、 模様の形を直接決めています。
曲線の数学的背景は？
内ギア = ハイポトロコイド、 外ギア = エピトロコイド。 x(t) = (R−r) cos(t) + d cos((R−r)/r · t)、 y(t) = (R−r) sin(t) − d sin((R−r)/r · t)。 高校数学のサイクロイドと同じ媒介変数表示の曲線です。
本当に無料ですか？
はい、 完全無料です。 バナー広告が表示されますが、 すべての機能を無料でご利用いただけます。 任意の 1 回限りのアプリ内課金 (広告除去) を選ぶこともできます。
オフラインで使えますか？
描画・保存はすべて端末内で完結します。 通信は広告 (Google AdMob / Meta Audience Network) と解析・クラッシュレポート (Firebase) のみで、 作品データは端末外へ送信されません。
数学の授業や自由研究に使えますか？
はい。 日本では新学期や夏休みの始まりに、 学習用途でのダウンロードが多く見られます。 GCD・LCM、 サイクロイド、 媒介変数表示の単元と相性のよい題材です。
どんなデータが記録されますか？
クラッシュ・利用状況のデータ (Firebase) と、 広告の配信に使う広告識別子・IP アドレスです。 広告識別子は、 iOS では ATT で許諾した場合のみ取得し、 Android では同意が必要な地域で UMP の選択に従います。 通常のご利用では氏名・メールアドレスを収集せず、 GPS などの正確な位置情報も取得しません (IP アドレスからおおよその地域が推定されることはあります)。 任意の「ご意見・フィードバック」 で入力された場合のみ、 メールアドレスが送信されます。
保存画像の解像度は？
2048 × 2048 px です。 ポストカード印刷や SNS 投稿に十分な解像度です。
対応言語は？
日本語と英語に対応しています。 アプリ UI と App Store / Play Store ストア表記の両方が両言語で提供されます。