数学が、
美しい模様に。
GCD と LCM が模様の形を決める、 ハイポトロコイド描画アプリ。 タップ 1 回で、 数学が閉じた曲線を最後まで描き切ります。
※ App Store 表示名は「スピログラフ」、 本サイトでは long-form「スピログラフメーカー」と表記しています。
子どもの玩具から、 世界の数学研究へ。
2022 年、 米ワシントン大学の代数組合せ論論文の謝辞に、 研究ツールとして明記されました。 論文タイトル自身に Spirographs が central concept として採用されています。
1965 年の歯車定規を、 アプリにそのまま。
「スピログラフメーカー」 は、 1965 年の歯車定規 (Spirograph toy) を、 iPhone / iPad / Android のタップ操作に置き換えた幾何学アートアプリです。 描かれる曲線は ハイポトロコイド と エピトロコイド ── 高校数学でいうサイクロイドと同じ媒介変数表示の曲線です。 歯車を選んで、 タップ 1 回。 数学が閉じた軌道を最後まで描き切り、 そこに曼荼羅のような模様が現れます。 絵心は不要です。
9 年継続提供 · 4.7★ (23 件のレビュー) · 累計 11 万 DL · 100 か国以上 · iOS 18.6+ / Android 8+ · 完全無料 (任意の広告除去課金あり)。
閉じるのは比のため。 ローブの数は GCD が決める。
スピログラフの模様は偶然の産物ではありません。 中学校で習う最大公約数 (GCD) と最小公倍数 (LCM) が、 模様の閉じる回転数とローブ (花弁) の数を直接決めています。
x(t) = (R − r) cos t + d cos((R − r) / r · t)y(t) = (R − r) sin t − d sin((R − r) / r · t)
- ハイポトロコイド内ギアモード。 半径 R の固定円の内側を、 半径 r の円が転がり、 中心から距離 d の点が描く軌跡。
- エピトロコイド外ギアモード。 同じ構造で、 内側円が外側を転がる場合。
- 閉じる条件歯数比が既約分数 n/m のとき、 曲線は m / gcd(n, m) 回転で閉じる。
- ローブの数n / gcd(n, m) ── 完成した模様で数える花弁の数。
中学校 1 年の GCD/LCM と高校数学 III/C のサイクロイド・媒介変数表示が、 1 つの視覚で交わる稀有な題材です。
機能の詳細。
オート描画モード
タップ 1 回で線が動き、 閉じた軌道を最後まで描き切ります。
内ギア / 外ギア
ハイポトロコイド (内側) とエピトロコイド (外側) の 2 描画モード。
歯車サイズ自由
R / r / d を自由に設定。 比を変えるたびに別の模様が生まれます。
10 色以上 + 4 点グラデ
画面 4 隅で異なる色を指定して、 線が走るほど色が変化します。
背景色 + ペン幅
ライト・ダーク・カスタム背景。 細線・太線、 自由設定。
Undo / Redo
1 ステップ戻して別の比を試せる。 履歴を失いません。
写真ライブラリに保存
2048 × 2048 px で書き出し、 壁紙・印刷に。
SNS シェア
Instagram・X・Facebook 等、 iOS / Android の共有メニュー対応。
iPad 完全対応
ユニバーサルバイナリ。 大きなキャンバスで細部までじっくり描けます。
オフライン描画
描画と保存は通信なしで完結。 通信は広告と匿名解析のみで、 作品データは端末外へ送信しません。
歯車から作品まで、 3 タップ。
歯車サイズを選ぶ
内ギア (ハイポトロコイド) か外ギア (エピトロコイド) のモードを選び、 ローブ数を決める R・r の値を設定します。
タップで自動描画
タップ 1 回。 線が動き、 m / gcd(n, m) 回転で元の位置に戻ったところで自動的に止まります。
保存またはシェア
写真ライブラリに保存、 SNS にシェア、 または Undo してギア比を変えて再描画します。
シーン。
- 寝る前のリラックスタイム。 2 分の描画セッションが、 眠る前の頭を静かにしてくれます。
- 数学の授業・宿題。 GCD/LCM・サイクロイド・媒介変数を「描いて」 体感できます。
- 自由研究・調べ学習。 比とローブ数の関係を試す、 まとまりのよい自由研究テーマに。
- 子どもの知育・創造遊び。 色は子どもが選び、 線はアプリが引いてくれます。
- 自分だけのオリジナル壁紙。 保存してロック画面・ホーム画面に。
- SNS のアートネタ。 どの出力もユニーク。 毎日違うアート投稿のネタに。
- 短い集中休憩 (Focus break)。 Pomodoro の合間の視覚的リセットに。
こんな方に。
日本の学習現場でもご利用いただいています。 新学期や夏休みの始まりに、 学習用途での導入が見られます。
仕様。
- 提供開始
- 2017 年 4 月 · 9 年継続
- 対応 OS
- iOS 18.6+ · Android 8+
- 実装
- Swift · Objective-C · Kotlin
- iOS 26
- Liquid Glass 対応
- 広告
- AdMob · UMP · ATT 完全準拠
- 価格
- 無料 · 任意の広告除去課金あり
- 学術引用
- arXiv:2207.06508
- 運営
- KYWorks
完全無料・サインアップ不要。
よくある質問。
なぜスピログラフの模様は閉じて花のような形になるのですか？
歯車のサイズ比 R/r が閉じた軌道を決めるためです。 既約分数で n/m と書けるとき、 曲線は m / gcd(n, m) 回転で閉じ、 n / gcd(n, m) 個のローブ (花弁) を持ちます。 中学校で習う GCD・LCM が、 模様の形を直接決めています。
曲線の数学的背景は？
内ギア = ハイポトロコイド、 外ギア = エピトロコイド。 x(t) = (R−r) cos(t) + d cos((R−r)/r · t)、 y(t) = (R−r) sin(t) − d sin((R−r)/r · t)。 高校数学のサイクロイドと同じ媒介変数表示の曲線です。
本当に無料ですか？
はい、 完全無料です。 バナー広告が表示されますが、 すべての機能を無料でご利用いただけます。 任意の 1 回限りのアプリ内課金 (広告除去) を選ぶこともできます。
オフラインで使えますか？
描画・保存はすべて端末内で完結します。 通信は広告 (Google AdMob / Meta Audience Network) と匿名の解析・クラッシュレポート (Firebase) のみで、 作品データは端末外へ送信されません。
数学の授業や自由研究に使えますか？
はい。 日本では新学期や夏休みの始まりに、 学習用途でのダウンロードが多く見られます。 GCD・LCM、 サイクロイド、 媒介変数表示の単元と相性のよい題材です。
どんなデータが記録されますか？
匿名のクラッシュ/解析イベント (Firebase) と、 iOS ATT / Android UMP の許諾範囲内の広告識別子のみです。 氏名・メール・位置情報は収集しません。
保存画像の解像度は？
2048 × 2048 px です。 ポストカード印刷や SNS 投稿に十分な解像度です。
対応言語は？
日本語と英語に対応しています。 アプリ UI と App Store / Play Store ストア表記の両方が両言語で提供されます。